רתע ושימור תנע
תנע
תנע הוא גודל פיזיקלי המוגדר כמכפלת המסה של הגוף במהירותו:
\[ \vec{p} = m\vec{v} \]
התנע הוא גודל וקטורי, ולכן יש להתייחס גם לגודל וגם לכיוון.
עקרון שימור התנע
במערכת מבודדת, כלומר מערכת שאין עליה כוחות חיצוניים משמעותיים, התנע הכולל נשמר:
\[ \sum \vec{p}_{\text{before}} = \sum \vec{p}_{\text{after}} \]
עיקרון זה תקף בהתנגשויות, בפיצולים של גופים ובתהליכי ירי או פליטה.
רתע
רתע הוא תופעה הנובעת ישירות משימור התנע. כאשר גוף אחד פולט גוף אחר או נפרד ממנו, שני הגופים נעים בכיוונים מנוגדים כך שהתנע הכולל של המערכת נשמר.
דוגמה: ירי מרובה
לפני הירי הרובה והקליע במנוחה, ולכן התנע הכולל של המערכת הוא אפס.
לאחר הירי הקליע נע קדימה והרובה נע לאחור (רתע).
שימור התנע נותן:
\[ m_{\text{bullet}} v_{\text{bullet}} + m_{\text{gun}} v_{\text{gun}} = 0 \]
ומכאן:
\[ v_{\text{gun}} = -\frac{m_{\text{bullet}}}{m_{\text{gun}}} \, v_{\text{bullet}} \]
הסימן השלילי מציין כי הרובה נע בכיוון הפוך לכיוון תנועת הקליע.
משמעות פיזיקלית
- ככל שמסת הגוף גדולה יותר, מהירות הרתע שלו קטנה יותר.
- רתע מתרחש רק כאשר יש שינוי בהתפלגות התנע בתוך המערכת.
- הכוחות הפנימיים בין הגופים אינם מפרים את שימור התנע.
דוגמאות נוספות
- אדם על גלגיליות הזורק כדור קדימה.
- שני גופים המתפצלים ממנוחה.
- תנועת רקטה בעקבות פליטת גזים לאחור.
דוגמה: כדור המתפוצץ לשני חלקים
כדור בעל מסה \(m\) נע במהירות \(v_0\) בכיוון אופקי. במהלך תנועתו הכדור מתפוצץ לשני חלקים שמסתם \(m_1\) ו-\(m_2\).
במהלך הפיצוץ מתווספת למערכת אנרגיה \(E\). נתון כי הפיצוץ מתרחש בזמן קצר מאוד, ולכן ניתן להזניח כוחות חיצוניים.
שלב 1: שימור התנע
לפני הפיצוץ התנע של המערכת הוא:
\[ (m_1 + m_2) v_0 \]
לאחר הפיצוץ החלקים נעים במהירויות \(v_1\) ו-\(v_2\) (בכיוון אותו ציר):
\[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_0 \]
שלב 2: מאזן אנרגיה
האנרגיה הקינטית לפני הפיצוץ היא:
\[ E_{k,\text{before}} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_0^2 \]
לאחר הפיצוץ האנרגיה הקינטית גדלה בכמות \(E\):
\[ \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_0^2 + E \]
שלב 3: פתרון המערכת
יש לנו שתי משוואות עם שני נעלמים: משוואת שימור התנע ומשוואת האנרגיה. פתרון משותף שלהן מאפשר למצוא את \(v_1\) ו-\(v_2\).
במקרים רבים נוח לבטא את אחת המהירויות ממשוואת התנע ולהציב במשוואת האנרגיה.
הערה חשובה
- התנע נשמר תמיד, גם בפיצוץ.
- האנרגיה הקינטית אינה נשמרת — היא גדלה בגלל האנרגיה שהתווספה בפיצוץ.
- כיווני המהירויות נקבעים דרך סימני הפתרון.