חוק גאוס

בעזרת חוק גאוס נחשב בקלות שדה חשמלי של מספר גופים. לדוגמא: כדור, גליל ומשטח אינסופי.
בגופים אחרים (שאינם סימטריים) נחשב את השדה החשמלי בעזרת אינטגרל על כוח קולון.
חשוב לציין כי חוק גאוס אינו שימושי לפתרון תרגילים, מכיון שבתרגילים נשתמש בנוסחאות (שאותן מוכיחים בעזרת חוק זה)
לפי החוק, השטף החשמלי העובר דרך מעטפת סגורה שווה לסכום המטענים הכלואים במעטפת.
נרשום את נוסחת החוק כך:

\Phi_E=\oint \vec E_{\hat r}\cdot \vec{ds}=Q_{in}

חשוב לשים לב לכך שהשדה הוא הנעלם אותו אנחנו מחפשים, ומכיון שפרמטר זה נמצא בתוך אינטרל לא נוכל לבודד אותו ללא הוצאתו מחוץ לאינטגרל. כדי לעשות זאת, עלינו לבחור מעטפות סימטריות, כך שהשדה עליהן קבוע, מה שיהפוך את האינטגרל למכפלה, ובכך ניתן יהיה לבודד את פרמטר השדה אותו אנחנו מחפשים.

נתבונן בשתי הדוגמאות מעלה. הדוגמא משמאל מתארת מעטפת גאוס במקרה של משטח אינסופי והדוגמא מימין מתארת מעטפת גאוס במקרה של תיל אינסופי.
להוכחת שדה חשמלי של משטח אינסופי (הדוגמא משמאל) נבחר מעטפת גלילית, בה השטף דרך צידי המעטפת מתבטל מטעמי סימטריה

\oint  \limits_{S} \vec E \cdot ds=\oint\limits_{S_{up}} \vec E_{up}\cdot ds+{\oint\limits_{S_{down}} \vec E_{down}\cdot ds}+\cancel{\oint\limits_{S_{side}} \vec E_{side}\cdot ds}

ואת השטף שנקבל נשווה לכמות המטען שבתוך מעטפת גאוס.

2\cdot \vec E\cdot \pi R^2=\sigma\cdot \pi R^2

ומכאן נקבל כי השדה של משטח אינסופי תלוי רק בצפיפות המשטח (ולא במרחק ממנו):

\vec E=\frac 12\sigma

להוכחת שדה חשמלי של תיל אינסופי (הדוגמא מימין) נבחר מעטפת גלילית, בה השטף דרך הפאה העליונה .והתחתונה מתבטל מטעמי סימטריה

\oint  \limits_{S} \vec E \cdot ds=\cancel{\oint\limits_{S_{up}} \vec E_{up}\cdot ds}+\cancel{\oint\limits_{S_{down}} \vec E_{down}\cdot ds}+\oint\limits_{S_{side}} \vec E_{side}\cdot ds

את התוצאה, שוב, נשווה לכמות המטען שבתוך המעטפת:

\vec E \cdot 2\pi R h = \lambda h

ומכאן נקבל כי עוצמת השדה החשמלי של תיל אינסופי פרופורציונלית לצפיפותו האורכית והפוכה למרחק ממנו:

\vec E    = \frac{1}{2\pi R}\lambda