כוחות ואנרגיות חלקיק על חלקיק

בשיעור הזה נבחן לעומק מקרה קלאסי בחשמל, דרך שיקולי כוחות ודרך שיקולי אנרגיות. המתמטיקה זהה לזו שהכרנו בכבידה, אבל המשמעות שונה: בכבידה יש רק משיכה, וכאן יש דחייה.

המצב

• מטען גדול \(Q\) קבוע במקומו ולא זז. הוא משפיע על החלקיק השני, ומה שקורה לו עצמו לא מעניין אותנו.
• מעליו נמצא מטען נקודתי \(q\) בעל מסה \(m\). לכן פועל עליו גם כוח הכובד \(mg\).
• החלקיק \(q\) יכול לנוע רק למעלה ולמטה, לא ימינה ושמאלה. למשל, הוא חרוז שמושחל על מוט אנכי.
• הגובה של \(Q\) מוגדר כאפס, והגובה של \(q\) מסומן ב-\(y\).

שני המטענים חיוביים, ולכן הם דוחים זה את זה.

שיקולי כוחות - איפה יש שיווי משקל

על \(q\) פועלים שני כוחות:

• כוח הכובד \(mg\) - כלפי מטה.
• הכוח החשמלי - כלפי מעלה (דחייה).

שיווי משקל מעניין הוא מצב שבו פועלים כוחות, אבל הם מאזנים זה את זה בדיוק. נדרוש שסך הכוחות יהיה אפס (הכיוון החיובי כלפי מעלה):

$$\sum F = -mg + k\frac{Qq}{y^2} = 0$$

זו משוואה אחת עם נעלם אחד. נבודד את \(y\) ונקבל את גובה שיווי המשקל:

$$y_{eq} = \sqrt{\frac{kQq}{mg}}$$

שיקולי כוחות - האם שיווי המשקל יציב

אי אפשר להציב את החלקיק בדיוק בנקודה. תמיד יש סטייה קטנה. השאלה היא אם הכוח שנוצר בעקבות הסטייה מחזיר את החלקיק, או מגדיל את הסטייה (אפקט "כדור שלג").

שיווי משקל יציב הוא מצב שבו החלקיק חוזר לשני הכיוונים. אם הוא חוזר רק כשסוטים לצד אחד, שיווי המשקל אינו יציב.

• אם החלקיק מעט גבוה מדי: הכוח \(mg\) לא משתנה, כי הוא לא תלוי ב-\(y\). הכוח החשמלי קטן, כי הוא יורד עם המרחק. הכוח כלפי מטה גובר, והחלקיק חוזר למטה.
• אם החלקיק מעט נמוך מדי: \(mg\) שוב לא משתנה, והכוח החשמלי גדל. הכוח כלפי מעלה גובר, והחלקיק חוזר למעלה.

בשני המקרים נוצר כוח מחזיר, ולכן זה שיווי משקל יציב.

שיקולי אנרגיות - האנרגיה כפונקציה של הגובה

אנרגיה בנקודה אחת לא מעניינת אותנו. מה שמעניין הוא איך האנרגיה תלויה במיקום, כדי שנוכל להשוות בין נקודות. כוח הכובד היה חשוב בשיקולי הכוחות, ולכן הוא חשוב גם בשיקולי האנרגיות. לחלקיק יש שני סוגי אנרגיה:

אנרגיית כובד - גדלה ככל שעולים:

$$U_g(y) = mgy$$

אנרגיה חשמלית - קטנה ככל שעולים:

$$U_e(y) = k\frac{Qq}{y}$$

האנרגיה הכוללת:

$$U(y) = mgy + k\frac{Qq}{y}$$

שרטוט הגרף

אם אפשר לשרטט פונקציה, סימן שמבינים אותה. הפונקציה היא סכום של שתי פונקציות, ולכן נשרטט כל אחת בנפרד ואז נסכום:

• \(mgy\) - קו ישר עולה (כחול בגרף).
• \(\frac{kQq}{y}\) - צורה של \(\frac{1}{y}\): ערכים קטנים של \(y\) נותנים ערכים גדולים, וערכים גדולים של \(y\) נותנים ערכים קטנים (ירוק בגרף).

כדי לסכום, נבדוק את הקצוות:

• קרוב מאוד ל-\(Q\) (y קטן): האיבר החשמלי שואף לאינסוף ושולט. מיליארד ועוד 18 זה בערך מיליארד. הגרף מתנהג כמו \(\frac{1}{y}\).
• רחוק מאוד (y גדול): האיבר החשמלי שואף לאפס, ונשאר רק הקו הישר \(mgy\).

באמצע שתי ההתנהגויות מתחברות. אין צורך לדעת בדיוק איך, אבל ברור שהגרף יורד בהתחלה ועולה בסוף, ולכן יש לו נקודת מינימום (שחור בגרף).

מה לומדים מגרף האנרגיה

איפה יש שיווי משקל

השיפוע של גרף האנרגיה נותן את הכוח. בנקודת המינימום השיפוע שווה לאפס, ולכן הכוח שם שווה לאפס. זו נקודת שיווי המשקל.

האם שיווי המשקל יציב

זו נקודת מינימום, ולכן שיווי המשקל יציב. גוף תמיד שואף להגיע למינימום אנרגיה. אם הוא סוטה מעט לצד כלשהו, יש לו קצת יותר אנרגיה, והוא חוזר למינימום. אפשר לדמיין עמק: כדור שמונח בתחתיתו נשאר שם.

חישוב מיקום שיווי המשקל מהאנרגיה

נגזור את האנרגיה ונשווה לאפס:

$$\frac{dU}{dy} = mg - k\frac{Qq}{y^2} = 0$$

קיבלנו בדיוק את אותה משוואה שקיבלנו משיקולי כוחות (עד כדי סימן). זה לא מקרי: סך הכוחות שווה לאפס והנגזרת של האנרגיה שווה לאפס הם אותו תנאי. זה הקשר בין כוחות לאנרגיות.

שאלות שאפשר לשאול על המצב הזה

בבגרות השאלות יהיו פשוטות יותר. שרטוט גרף כזה יכול להופיע בסעיף האחרון של שאלה קשה. אבל אם מבינים את התמונה המלאה, אפשר לענות על כל שאלה שתישאל.

1. אם מציבים שם חלקיק, האם הוא יישאר במקומו? כן, זה שיווי משקל יציב.
2. איפה נמצאת נקודת שיווי המשקל? \(y_{eq}\) - מתקבלת משיקולי כוחות, או מגזירת האנרגיה והשוואה לאפס. זה אותו חישוב.
3. משחררים את החלקיק ממנוחה בגובה \(y_0\) אחר. מה יקרה? הוא ינוע לכיוון נקודת המינימום.
4. מה המהירות המקסימלית? החלקיק מגיע למהירות מקסימלית בנקודת המינימום של האנרגיה הפוטנציאלית. מחשבים בשימור אנרגיה: $$U(y_0) = U(y_{eq}) + \frac{1}{2}mv_{max}^2$$
5. עד לאן יגיע בצד השני? אין איבוד אנרגיה, ולכן החלקיק ימשיך מעבר לנקודת המינימום ויגיע בצד השני לנקודה שבה האנרגיה הפוטנציאלית שווה לזו שבה התחיל: $$U(y_1) = U(y_0)$$

במהלך התנועה האנרגיה הפוטנציאלית הופכת לקינטית, ובצד השני הקינטית חוזרת להיות פוטנציאלית. זה דומה לגוף שנזרק למעלה: האנרגיה הקינטית הופכת לאנרגיית גובה, וחוזרת להיות קינטית. אפשר גם לדמיין מסילה בצורת עמק ללא חיכוך: גוף שמתחיל בגובה מסוים מגיע בצד השני לאותו גובה.

סיכום