חיבור שתי ספירות

מה קורה כשמחברים שתי ספירות?

שתי ספירות מוליכות רחוקות זו מזו: לספירה הראשונה מטען \( q_1 \) ורדיוס \( r_1 \), ולשנייה מטען \( q_2 \) ורדיוס \( r_2 \). מחברים ביניהן בחוט מוליך דק.

מטענים עוברים בחוט מספירה אחת לשנייה עד שהפוטנציאלים משתווים. הפוטנציאל הוא מעין "לחץ" של המטענים.

כמו בשני בלונים מחוברים: האוויר עובר מהבלון שבו הלחץ גבוה לבלון שבו הלחץ נמוך, ולא בהכרח מהבלון שיש בו יותר אוויר. מיכל צלילה קטן בלחץ גבוה ירוקן אוויר לתוך בלון גדול. באותו אופן, מטען עובר מהספירה שבה הפוטנציאל גבוה לזו שבה הוא נמוך, גם אם על הספירה הראשונה יש פחות מטען.

כמה מטען עובר?

נסמן ב-\( \Delta \) את המטען שעובר מהספירה הראשונה לשנייה. אחרי המעבר:

$$ q_1' = q_1 - \Delta, \qquad q_2' = q_2 + \Delta $$

המטען הכולל נשמר. בסוף הפוטנציאלים שווים:

$$ \frac{k(q_1 - \Delta)}{r_1} = \frac{k(q_2 + \Delta)}{r_2} $$

משוואה אחת עם נעלם אחד. הפתרון:

$$ \Delta = \frac{q_1 r_2 - q_2 r_1}{r_1 + r_2} $$

אם יוצא \( \Delta \) שלילי, המטען עובר בכיוון ההפוך: מהספירה השנייה לראשונה.

המטענים הסופיים מתחלקים ביחס לרדיוסים:

$$ q_1' = \frac{r_1}{r_1 + r_2}\,(q_1 + q_2), \qquad q_2' = \frac{r_2}{r_1 + r_2}\,(q_1 + q_2) $$

והפוטנציאל המשותף:

$$ \varphi = \frac{k(q_1 + q_2)}{r_1 + r_2} $$

כמה אנרגיה הלכה לאיבוד?

אנרגיה לא נוצרת ולא נעלמת, אבל היא יכולה להפוך לצורה שלא נוח להשתמש בה. כשהמטען זורם בחוט, חלק מהאנרגיה החשמלית הופך לחום. מחשבים את האנרגיה לפני ואחרי בעזרת \( U = kq^2/(2r) \) לכל ספירה.

לפני החיבור:

$$ U_i = \frac{k q_1^2}{2 r_1} + \frac{k q_2^2}{2 r_2} $$

אחרי החיבור:

$$ U_f = \frac{k (q_1 - \Delta)^2}{2 r_1} + \frac{k (q_2 + \Delta)^2}{2 r_2} = \frac{k (q_1 + q_2)^2}{2 (r_1 + r_2)} $$

ההפרש הוא האנרגיה שהפכה לחום. אחרי סידור אלגברי:

$$ U_i - U_f = \frac{k\,(q_1 r_2 - q_2 r_1)^2}{2\, r_1 r_2 (r_1 + r_2)} $$

זה ביטוי בריבוע, ולכן הוא תמיד חיובי (או אפס): האנרגיה הסופית תמיד קטנה מהאנרגיה ההתחלתית. ההפרש מתאפס רק אם \( q_1/r_1 = q_2/r_2 \), כלומר אם הפוטנציאלים היו שווים מלכתחילה ולא עבר מטען.

דוגמה מספרית

ספירה ראשונה: \( q_1 = 6\ \mathrm{nC} \), \( r_1 = 10\ \mathrm{cm} \). ספירה שנייה: לא טעונה, \( r_2 = 20\ \mathrm{cm} \).

הפוטנציאלים לפני החיבור:

$$ \varphi_1 = \frac{9\cdot10^9 \cdot 6\cdot10^{-9}}{0.1} = 540\ \mathrm{V}, \qquad \varphi_2 = 0 $$

המטען שעובר:

$$ \Delta = \frac{6 \cdot 0.2 - 0}{0.3} = 4\ \mathrm{nC} $$

אחרי החיבור \( q_1' = 2\ \mathrm{nC} \) ו-\( q_2' = 4\ \mathrm{nC} \), והפוטנציאל המשותף הוא \( 180\ \mathrm{V} \).

האנרגיה:

$$ U_i = \frac{9\cdot10^9 \cdot (6\cdot10^{-9})^2}{2 \cdot 0.1} = 1.62\ \mathrm{\mu J}, \qquad U_f = \frac{9\cdot10^9 \cdot (6\cdot10^{-9})^2}{2 \cdot 0.3} = 0.54\ \mathrm{\mu J} $$

לחום הפכו \( 1.08\ \mathrm{\mu J} \): שני שליש מהאנרגיה ההתחלתית.

הדגמה

בהדגמה אפשר לשנות את המטענים ואת הרדיוסים של שתי הספירות ולראות כמה מטען עובר, מה הפוטנציאל המשותף וכמה אנרגיה הופכת לחום.