אנרגיה של ספירה טעונה

כמה אנרגיה יש בכדור טעון?

האנרגיה של כדור מוליך טעון היא האנרגיה שהשקענו כדי לטעון אותו: להביא את המטענים אחד אחד ולצופף אותם על פני הכדור, למרות שהם דוחים זה את זה. זו לא אנרגיה "בנקודה מסוימת", אלא האנרגיה של המערכת כולה. אפשר לחשוב על הכדור כמו על סוללה: זו האנרגיה שהוא יכול להחזיר.

כל המטען של כדור מוליך נמצא על פני הכדור, והפוטנציאל של כל הכדור (כולל הפנים) הוא:

$$ \varphi = \frac{kQ}{R} $$

האנרגיה של הכדור (מופיעה בדף הנוסחאות):

$$ U = \frac{1}{2}\,\frac{kQ^2}{R} = \frac{1}{2}\,Q\,\varphi = \frac{\varphi^2 R}{2k} $$

שלוש הצורות שקולות. עוברים מאחת לשנייה בעזרת הקשר \( Q = \varphi R / k \).

למה יש חצי?

נסתכל על שני מטענים \( q \) במרחק \( r \). כל אחד מהם נמצא בפוטנציאל \( kq/r \) שהשני יוצר. אם נכפיל כל מטען בפוטנציאל שלו ונסכום, נקבל \( 2\,kq^2/r \). אבל זו אותה אינטראקציה שנספרה פעמיים: פעם מנקודת המבט של כל מטען. לכן מכפילים בחצי:

$$ U = \tfrac{1}{2} \sum q_i \varphi_i $$

בכדור, כל המטען \( Q \) נמצא באותו פוטנציאל \( \varphi \), ולכן \( U = \tfrac12 Q\varphi \). אותה תוצאה מתקבלת גם מאינטגרל: כשטוענים את הכדור בהדרגה, כל מטען נוסף \( dq \) מובא לפוטנציאל \( kq/R \) של המטען שכבר נמצא עליו, ובסוף מקבלים \( kQ^2/(2R) \).

למה הנוסחה הגיונית?

• \( Q^2 \): כל מטען נוסף מעלה את האנרגיה פעמיים: גם יש יותר מטענים, וגם הפוטנציאל ("הלחץ") שבו הם נמצאים גבוה יותר.
• \( R \) במכנה (כשהמטען נתון): כדור גדול יותר פירושו מטענים פחות צפופים. לצופף מטענים עולה אנרגיה, ולכן כדור קטן עם אותו מטען מכיל יותר אנרגיה.
• \( R \) במונה (כשהפוטנציאל נתון): אם טוענים כדורים שונים לאותו מתח (למשל סוללה של 12 וולט), בכדור גדול יש מקום ליותר מטענים, ולכן יש בו יותר אנרגיה.

איזו נוסחה לבחור?

לפני שמחשבים, שואלים מה נשאר קבוע, ובוחרים את הנוסחה שבה הגודל הקבוע מופיע:

• כדור מבודד (מנותק מהסוללה): למטענים אין לאן ללכת, ולכן \( Q \) קבוע. משתמשים ב-\( U = kQ^2/(2R) \).
• כדור מחובר לסוללה: הסוללה שומרת על מתח קבוע, ולכן \( \varphi \) קבוע. משתמשים ב-\( U = \varphi^2 R/(2k) \).

תרגיל לדוגמה

כדור מוליך ברדיוס \( R = 1\ \mathrm{m} \) מחובר לסוללה של 12 וולט, ולכן הפוטנציאל שלו \( \varphi = 12\ \mathrm{V} \).

א. מה המטען על הכדור ומה האנרגיה שלו?

ב. מנתקים את הכדור מהסוללה ומכווצים אותו לרדיוס \( R/3 \). מה קורה למטען, לפוטנציאל ולאנרגיה? כמה עבודה השקענו?

ג. חוזרים למצב ההתחלתי, והפעם מכווצים את הכדור לרדיוס \( R/3 \) כשהוא נשאר מחובר לסוללה. מה קורה למטען ולאנרגיה של הכדור?

פתרון

א. המטען:

$$ Q = \frac{\varphi R}{k} = \frac{12 \cdot 1}{9\cdot10^9} \approx 1.33\cdot10^{-9}\ \mathrm{C} $$

הפוטנציאל נתון, ולכן נוח לחשב את האנרגיה בעזרתו:

$$ U = \frac{\varphi^2 R}{2k} = \frac{12^2 \cdot 1}{2 \cdot 9\cdot10^9} = 8\cdot10^{-9}\ \mathrm{J} $$

ב. הכדור מנותק, ולכן המטען נשאר קבוע. כמו ילדים בכיתה: אם דוחסים אותם לחדר קטן יותר, מספר הילדים לא משתנה.

הפוטנציאל \( \varphi = kQ/R \): המטען קבוע והרדיוס קטן פי 3, ולכן הפוטנציאל גדל פי 3:

$$ \varphi' = 3 \cdot 12 = 36\ \mathrm{V} $$

האנרגיה \( U = kQ^2/(2R) \): גם היא גדלה פי 3:

$$ U' = 3U = 24\cdot10^{-9}\ \mathrm{J} $$

העבודה שהשקענו בכיווץ היא השינוי באנרגיה:

$$ W = U' - U = 16\cdot10^{-9}\ \mathrm{J} $$

כיווץ דורש השקעת עבודה, כי המטענים דוחים זה את זה. מאותה סיבה, כדור טעון ומבודד "רוצה" להתרחב: כך המטענים מתרחקים זה מזה והאנרגיה קטנה.

ג. הכדור מחובר לסוללה, ולכן הפוטנציאל נשאר 12 וולט. כשלוחצים את המטענים, יש להם לאן לברוח: הם חוזרים לסוללה.

המטען \( Q = \varphi R/k \): הפוטנציאל קבוע והרדיוס קטן פי 3, ולכן המטען קטן פי 3:

$$ Q' = \frac{Q}{3} \approx 0.44\cdot10^{-9}\ \mathrm{C} $$

האנרגיה של הכדור \( U = \varphi^2 R/(2k) \): קטנה פי 3:

$$ U' = \frac{U}{3} \approx 2.67\cdot10^{-9}\ \mathrm{J} $$

הדגמה

בהדגמה אפשר לשנות את רדיוס הכדור ולבחור אם הוא מנותק מהסוללה או מחובר אליה. העמודות מראות פי כמה השתנו המטען, הפוטנציאל והאנרגיה ביחס למצב ההתחלתי.