בגרות – אלומת פרוטונים למסך פלואורסנטי

נתוני השאלה

אלומת פרוטונים נעה עד לפגיעה במסך פלואורסנטי. בדרכה עוברת האלומה תחילה באזור שבו שורר שדה מגנטי אחיד \( \vec{B_1} \) (ומתעקלת שם כלפי מטה, ראו תרשים), ולאחר מכן בין שני לוחות מקבילים טעונים P ו-Q שביניהם שדה חשמלי E ושדה מגנטי \( \vec{B_2} \), כך שהאלומה ממשיכה בקו ישר עד לפגיעה במסך בנקודה M.

נתון: \( v_0=10^6\,m/s \), \( B_1=0.12\,T \), הפרש הפוטנציאלים בין הלוחות \( V=800\,V \), המרחק בין הלוחות \( \Delta x=5\,cm \).

סעיף א(1) - כיוון B1

מהתרשים: הפרוטון (מטען חיובי) נכנס לאזור B1 כשהוא נע אופקית ימינה (\( \vec{v}=v_0\hat{x} \)), והמסלול מתעקל כלפי מטה - כלומר הכוח המגנטי בכניסה מכוון כלפי מטה (\( -\hat{y} \)).

בודקים: אם \( \vec{B_1}=B_1\hat{z} \) (מחוץ לדף):

$$ \vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B_1}=qv_0B_1(\hat{x}\times\hat{z})=qv_0B_1(-\hat{y}) $$

זהו בדיוק כוח כלפי מטה כנדרש (עבור q חיובי). לכן \( \vec{B_1} \) מכוון החוצה מן הדף.

סעיף א(2) - רדיוס המסלול באזור B1

$$ qv_0B_1=\frac{mv_0^2}{r_1} \quad\Rightarrow\quad r_1=\frac{mv_0}{qB_1}=\frac{1.67\cdot10^{-27}\cdot10^6}{1.6\cdot10^{-19}\cdot0.12}\approx0.087\,m=8.7\,cm $$

סעיפים ב-ג - בורר המהירויות: כיוון וגודל B2

כדי שהאלומה תמשיך בקו ישר בין הלוחות (בלי לסטות), הכוח החשמלי qE חייב לאזן בדיוק את הכוח המגנטי \( qv_0B_2 \) - "בורר מהירויות":

$$ qE=qv_0B_2 \quad\Rightarrow\quad B_2=\frac{E}{v_0} $$

$$ E=\frac{V}{\Delta x}=\frac{800}{0.05}=16000\,V/m $$

$$ B_2=\frac{16000}{10^6}=0.016\,T $$

לגבי הכיוון: לפי התרשים, הלוח Q נמצא בצד אחד של מסלול האלומה והלוח P בצד השני. כיוון \( \vec{E} \) הוא מהלוח החיובי לשלילי (ניצב לכיוון התנועה בין הלוחות). מאחר שאין בתרשים סימון מפורש איזה לוח (P או Q) הוא החיובי, יש לקבוע זאת מהמקור ואז להפעיל \( \vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B_2}=-q\vec{E} \) (בכיוון הפוך לכוח החשמלי) כדי לקבוע אם \( \vec{B_2} \) נכנס או יוצא מהדף.

סעיף ד - השוואת מהירות הפגיעה כאשר B2 מכובה

כאשר B2 פועל, הכוח החשמלי מאוזן במלואו ע"י הכוח המגנטי - האלומה נעה בקו ישר במהירות קבועה \( v_0 \) (גם ב-B1 המהירות לא משתנה, כי כוח מגנטי אינו מבצע עבודה). לכן מהירות הפגיעה המקורית ב-M היא \( v_0 \).

כאשר מכבים את B2, נשאר בין הלוחות רק הכוח החשמלי qE, המאונך למהירות הכניסה - בדיוק כמו כדור הנזרק אופקית בשדה הכובד. תחת כוח קבוע הניצב למהירות ההתחלתית, מסלול החלקיק הוא פרבולי, ומכיוון שהכוח תמיד בעל רכיב חיובי בכיוון התזוזה (בדיוק כמו בנפילה חופשית), הוא מבצע עבודה חיובית על הפרוטון לאורך המסלול. לכן:

מהירות הפגיעה החדשה גדולה יותר מ-\( v_0 \) (גדולה ממהירות הפגיעה בנקודה M).

סעיף ה - השוואת זמן התנועה כאשר B2 מכובה

השדה החשמלי E מאונך לכיוון התנועה המקורי (מקביל ללוחות) - בדיוק כמו כוח הכובד הפועל על קליע הנזרק אופקית. לכן רכיב המהירות לאורך הכיוון המקורי של האלומה (מקביל ללוחות) אינו מושפע כלל מהכוח החשמלי, ונשאר קבוע ושווה ל-\( v_0 \) - בין אם B2 פועל ובין אם לא.

מכיוון שהמרחק הגיאומטרי מהלוחות למסך, נמדד לאורך הכיוון המקורי הזה, קבוע (תכונה של המערכת ולא של המסלול), וזמן ההגעה למסך נקבע ע"י רכיב המהירות הזה בלבד - כלומר \( t=d/v_0 \) כאשר d הוא אותו מרחק קבוע:

הזמן זהה (שווה) לזמן התנועה המקורי - עד לנקודה M - למרות שנקודת הפגיעה עצמה שונה.