חוק שימור אנרגיה

בתהליך

אחד החוקים החשובים ביותר בפיזיקה. בעזרת פיתוחים מתמטיים נוכל לתאר סוגים שונים של אנרגיה (אנרגיית גובה, אנרגייה קינטית, אנרגיה אלסטית ועוד) ולראות כיצד האנרגיה "מתגלגלת" מסוג אחד לסוג אחר.

השימוש בחוק שימור אנרגיה מייעל ומזרז את העבודה, וזה כמובן בא על חשבון מידע ש"נאבד".

חשוב מאוד להכיר את היתרונות והחסרונות בפתרון בעזרת שיקולי אנרגיה לעומת פתרון בעזרת שיקולי כוחות.

דוגמא פשוטה לשימור אנרגייה היא אנרגייה קינטית המתחלפת לאנרגיה אלסטית וחזרה, כאשר גוף פוגע בקפיץ.

ניתן כמובן גם לשלב בתנועה אנרגיית גובה:

$$ E_{total} = \textcolor{green}{mgh} + \textcolor{blue}{\frac{1}{2}mv^2} + \textcolor{tomato}{\frac{1}{2}kx^2} $$

תרגילים שונים ניתנים לפתרון בעזרת חוקי ניוטון או בעזרת חוק שימור אנרגיה, כאשר שואלים על תאוצה או על מהירות (בהתאמה). לדוגמא, מסה הגוררת מסה למציאת תאוצה או מהירות.

מצגת מסכמת: שלוש האנרגיות המכניות, עבודת כוח החיכוך, ושיטה לפתרון שאלות אנרגיה, עם דוגמאות מהפשוט ועד המשולב:

מבוא · אנרגיה

אנרגיה מכנית ועבודת החיכוך

שלושה סוגי אנרגיה מכנית, עבודת כוח החיכוך, ושיטה אחת שפותרת את כל השאלות: מדוגמה פשוטה ועד שאלה משולבת.

אנרגיית גובהאנרגיית תנועהאנרגיית קפיץעבודת החיכוךשימור אנרגיה

יסודות

שלוש האנרגיות המכניות

מההתחלההצג פתרון

אנרגיית גובה

$mgh$

תלויה בגובה מעל קו האפס שבחרנו

אנרגיית תנועה

$\tfrac12 mv^2$

תלויה בריבוע המהירות

אנרגיית קפיץ

$\tfrac12 kx^2$

x הוא השינוי באורך הקפיץ ביחס לאורך הרפוי

שימו לב: x הוא כמה הקפיץ התכווץ או נמתח מעבר לנקודת הרפיון, לא האורך של הקפיץ ולא האורך של הגוף. כיווץ ומתיחה באותו x נותנים אותה אנרגיה, כי x מופיע בריבוע.

האנרגיה המכנית היא הסכום של שלושתן. היחידה: ג'אול.$E=mgh+\tfrac12 mv^2+\tfrac12 kx^2$

יסודות

עבודת כוח החיכוך

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: למה גוף שמחליק על משטח מחוספס נעצר? לאן הולכת האנרגיה שלו?

1. כוח החיכוך הקינטי:$f_k=\mu_k N$

שימו לב: הגוף מחליק על המשטח, ולכן החיכוך הוא קינטי ומשתמשים במקדם החיכוך הקינטי $\mu_k$.

2. על משטח אופקי הכוח הנורמלי שווה למשקל:$N=mg\ \Rightarrow\ f_k=\mu_k mg$

3. החיכוך פועל נגד התנועה, ולכן עבודתו שלילית:$W_f=-f_k\cdot l$

העיקרון: האנרגיה בסוף שווה לאנרגיה בהתחלה ועוד עבודת החיכוך. בלי חיכוך האנרגיה נשמרת.$E_1+W_f=E_2$

השיטה

חמישה צעדים לכל שאלת אנרגיה

מההתחלההצג פתרון

1. בוחרים שני מצבים: מצב שבו יודעים הכל, ומצב שבו מחפשים משהו.

2. קובעים קו גובה אפס, בדרך כלל בנקודה הנמוכה ביותר.

3. רושמים בכל מצב את שלוש האנרגיות: גובה, תנועה וקפיץ. מה שלא קיים שווה אפס.

4. אם יש קטע מחוספס בין המצבים, מחשבים את עבודת החיכוך.

5. מציבים במשוואה ופותרים:$E_1+W_f=E_2$

דוגמה 1 · פשוטה

נפילה חופשית

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: כדור במסה 2 kg נופל ממנוחה מגובה 5 m. לאן נעלמת אנרגיית הגובה שלו?

1. למעלה, ב-A, הכדור במנוחה:$E_A=mgh=2\cdot10\cdot5=100\ \text{J}$

2. למטה, ב-B, הגובה אפס וכל האנרגיה היא אנרגיית תנועה:$\tfrac12 mv_B^2=100$

מהירות הפגיעה:$\tfrac12\cdot2\cdot v_B^2=100\ \Rightarrow\ v_B^2=100\ \Rightarrow\ v_B=10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

4. בחצי הגובה, חצי מהאנרגיה כבר עברה לתנועה:$2\cdot10\cdot2.5+\tfrac12\cdot2\cdot v^2=100\ \Rightarrow\ v=\sqrt{50}\approx7.07\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

שימו לב: בחצי הגובה המהירות היא לא חצי מ-10. האנרגיה תלויה ב-$v^2$, לא ב-$v$.

דוגמה 2

מסילה חלקה: המסה מתבטלת

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: גוף במסה m משתחרר ממנוחה בנקודה A. האם צריך לדעת את המסה או את צורת המסילה כדי למצוא את המהירות ב-B?

1. ב-A הגוף במנוחה, בגובה 2 m:$E_A=mg\cdot2$

2. ב-B הגובה 0.75 m והמהירות $v_B$:$E_B=mg\cdot0.75+\tfrac12 mv_B^2$

3. אין חיכוך, ולכן $E_A=E_B$. מחלקים במסה m:$10\cdot2=10\cdot0.75+\tfrac12 v_B^2$

המהירות ב-B:$v_B^2=2\cdot(20-7.5)=25\ \Rightarrow\ v_B=5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

שימו לב: המסה מתבטלת, וצורת המסילה לא משנה. רק הגבהים קובעים.

דוגמה 3

קפיץ משגר גוף

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: קפיץ מכווץ ב-0.1 m דוחף גוף במסה 0.5 kg על משטח חלק. לאיזו אנרגיה הופכת אנרגיית הקפיץ?

1. לפני השחרור הגוף במנוחה, וכל האנרגיה בקפיץ:$E_1=\tfrac12 kx^2=\tfrac12\cdot200\cdot0.1^2=1\ \text{J}$

2. כשהקפיץ חוזר לאורכו הרפוי, כל האנרגיה היא אנרגיית תנועה:$E_2=\tfrac12 mv^2=\tfrac12\cdot0.5\cdot v^2$

מהירות הגוף:$1=\tfrac12\cdot0.5\cdot v^2\ \Rightarrow\ v^2=4\ \Rightarrow\ v=2\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

ומה אם מכווצים פי 2? האנרגיה תלויה ב-$x^2$, ולכן היא גדלה פי 4 והמהירות גדלה פי 2:$\tfrac12\cdot200\cdot0.2^2=4\ \text{J}\ \Rightarrow\ v=4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

דוגמה 4

חיכוך עוצר גוף

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: גוף במסה 2 kg נע במהירות 6 m/s על משטח אופקי מחוספס עם $\mu_k=0.3$. איזה מרחק יעבור עד שייעצר?

1. בהתחלה יש רק אנרגיית תנועה:$E_1=\tfrac12 mv_0^2=\tfrac12\cdot2\cdot6^2=36\ \text{J}$

2. כוח החיכוך ועבודתו לאורך l:$f_k=\mu_k mg=0.3\cdot2\cdot10=6\ \text{N}\ \Rightarrow\ W_f=-6l$

3. בסוף הגוף עומד, $E_2=0$:$E_1+W_f=E_2\ \Rightarrow\ 36-6l=0$

מרחק העצירה:$l=\frac{36}{6}=6\ \text{m}$

שימו לב: כל אנרגיית התנועה הפכה לחום. עבודת החיכוך: $W_f=-36\ \text{J}$

דוגמה 5 · משולבת · חלק א

מדרון, חיכוך וקפיץ

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: גוף במסה 1 kg משתחרר ממנוחה בגובה 1 m. המדרון חלק, בקטע BC יש חיכוך, ומימין ל-C המשטח חלק וקפיץ עם k = 1000 N/m. מה המהירות ב-B וב-C?

א. מ-A ל-B אין חיכוך:$1\cdot10\cdot1=\tfrac12\cdot1\cdot v_B^2\ \Rightarrow\ v_B=\sqrt{20}\approx4.47\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

ב1. עבודת החיכוך בקטע BC:$W_f=-\mu_k mg\cdot l=-0.25\cdot1\cdot10\cdot2=-5\ \text{J}$

ב2. מ-A ל-C:$E_A+W_f=E_C\ \Rightarrow\ 10-5=\tfrac12\cdot1\cdot v_C^2$

המהירות ב-C:$v_C^2=10\ \Rightarrow\ v_C=\sqrt{10}\approx3.16\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

דוגמה 5 · משולבת · חלק ב

הקפיץ, ואיפה הגוף נעצר

מההתחלההצג פתרון

שאלה למחשבה: גוף במסה 1 kg משתחרר ממנוחה בגובה 1 m. המדרון חלק, בקטע BC יש חיכוך, ומימין ל-C המשטח חלק וקפיץ עם k = 1000 N/m. מה הכיווץ המקסימלי, ואיפה הגוף ייעצר בסוף?

ג. בכיווץ המקסימלי הגוף עוצר לרגע, וכל אנרגיית התנועה עוברת לקפיץ:$\tfrac12 mv_C^2=\tfrac12 kx^2\ \Rightarrow\ 5=\tfrac12\cdot1000\cdot x^2$

הכיווץ המקסימלי:$x^2=\frac{2\cdot5}{1000}=0.01\ \Rightarrow\ x=0.1\ \text{m}$

ד. הקפיץ מחזיר את הגוף ל-C עם 5 J. בדרך חזרה החיכוך ב-BC גורע 2.5 J בכל מטר:$5-0.25\cdot1\cdot10\cdot l=0\ \Rightarrow\ l=\frac{5}{2.5}=2\ \text{m}$

הגוף נעצר בדיוק בנקודה B. כל 10 ה-J שהיו לו בהתחלה הפכו לחום.

סיכום

מה לקחת לשאלות הבגרות

1. נפילהגובה ← תנועה

2. מסילה חלקההמסה מתבטלת

3. קפיץקפיץ ← תנועה

4. חיכוךתנועה ← חום

5. משולבתכל המעברים יחד

טעויות נפוצות

x של הקפיץ הוא הכיווץ מהאורך הרפוי, לא אורך הקפיץ.

מהירות בריבוע: חצי מהאנרגיה זה לא חצי מהמהירות.

הסימן של $W_f$: עבודת החיכוך תמיד שלילית.

חיכוך בשני הכיוונים: גוף שחוזר דרך קטע מחוספס מאבד אנרגיה גם בדרך חזרה.

→ הקודם1 / 7מסך מלאהבא ←

מכניקה

חוק שימור אנרגיה