בגרות – נקודת אמצע בין שני מטענים

לפניך איור של מערכת ובה שני מטענים חשמליים, מטען 1 ומטען 2, הנמצאים בריק, וקווי השדה החשמלי של המערכת. בשאלה זו האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית באין-סוף היא אפס. הנקודה A היא אמצע הקטע המחבר בין שני המטענים, והנקודה B נמצאת על האנך האמצעי לקטע זה.

קודם כל קוראים את האיור. קווי השדה יוצאים ממטען 1, ולכן הוא חיובי. הקווים נכנסים למטען 2, ולכן הוא שלילי.

א. הגדרת "קו שדה חשמלי"

קווי שדה הם קווים שמתארים את כיוון הכוח שירגיש מטען חיובי (ולכן גם את כיוון התאוצה שלו). בכל נקודה, הכוח משיק לקו ובכיוון החץ. צפיפות הקווים מראה את עוצמת השדה: במקום שבו הקווים צפופים השדה חזק.

על מטען שלילי הכוח פועל בכיוון ההפוך לחץ.

זהירות: הקו מראה את כיוון הכוח, לא בהכרח את המסלול. חלקיק שיש לו מהירות לא ינוע בהכרח לאורך הקו.

ב. מדוע המטענים שווים בערכם המוחלט

מספר הקווים שיוצאים ממטען 1 שווה למספר הקווים שנכנסים למטען 2, והאיור סימטרי ביחס לאנך האמצעי. מספר הקווים פרופורציוני לגודל המטען, ולכן המטענים שווים בגודלם.

הערה: מי שיספור את הקווים בדיוק ימצא הפרש של קו אחד בין שני המטענים. זו טעות קטנה של המחשב שצייר את האיור, ואין צורך להתייחס אליה בבחינה.

ג. השדה והפוטנציאל בנקודה A

(1) השדה לא מתאפס. השדה הוא גודל וקטורי. בנקודה A המטען החיובי (משמאל) דוחה מטען בוחן חיובי ימינה, והמטען השלילי (מימין) מושך אותו ימינה. שתי התרומות באותו כיוון, ולכן הן מתחברות ולא מבטלות זו את זו. רואים את זה גם באיור: בנקודה A יש קווי שדה.

(2) הפוטנציאל מתאפס. הפוטנציאל הוא גודל סקלרי, ולכן מחברים מספרים עם סימן, בלי כיוונים. אם המרחק מכל מטען לנקודה A הוא \( x \):

$$ \varphi_A = \frac{kq}{x} + \frac{k(-q)}{x} = 0 $$

מטען חיובי יוצר פוטנציאל חיובי, ומטען שלילי יוצר פוטנציאל שלילי. בסכימה סקלרית החיובי והשלילי מבטלים זה את זה. בסכימה וקטורית, לעומת זאת, שתי התרומות מצביעות לאותו כיוון ומתחברות.

(שדה ופוטנציאל הם כמו כוח ואנרגיה: אחד וקטור והשני סקלר. ערך הפוטנציאל בנקודה אחת לבד לא אומר הרבה. מה שקובע את התנועה הוא ההפרש בין נקודות סמוכות, כמו שגובה בנקודה אחת לא אומר אם נמצאים בעלייה או בירידה.)

ד. כיוון הכוח על מטען שלילי בנקודה B

בנקודה B קו השדה מכוון ימינה (משיק לקו, בכיוון החץ). על מטען שלילי הכוח פועל בכיוון ההפוך לשדה, ולכן הכוח מכוון שמאלה.

ה. השוואת עוצמת השדה בנקודה A לעומת נקודה C

עוצמת השדה גדולה יותר בנקודה C. בנקודה C קווי השדה צפופים יותר מאשר בנקודה A. הסיבה: נקודה C קרובה יותר למטען, וככל שמתקרבים למטען השדה חזק יותר.

ו. האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית של המערכת

נתון: הערך המוחלט של כל מטען הוא \( 1\times10^{-8}\ \mathrm{C} \), והמרחק ביניהם \( 6\ \mathrm{cm} = 0.06\ \mathrm{m} \).

האנרגיה של מטען היא המטען כפול הפוטנציאל שבו הוא נמצא. הפוטנציאל הזה נוצר על ידי המטען האחר, לא על ידי המטען עצמו. מטען 2 נמצא בפוטנציאל שיוצר מטען 1:

$$ \varphi = \frac{kq_1}{r} \quad\Longrightarrow\quad U = q_2 \varphi = \frac{k q_1 q_2}{r} $$

$$ U = 9\times10^9 \cdot \frac{(1\times10^{-8}) \cdot (-1\times10^{-8})}{0.06} = -1.5\times10^{-5}\ \mathrm{J} $$

זו האנרגיה של המערכת כולה (של הזוג). אם נחשב גם את האנרגיה של מטען 1 בפוטנציאל של מטען 2, נקבל בדיוק אותו ביטוי. זו אותה אינטראקציה שנספרה פעמיים, ולכן אסור לחבר את שתי התוצאות. (זו בדיוק הסיבה לחצי בנוסחה של האנרגיה של ספירה טעונה.)

מה המשמעות של אנרגיה שלילית?

האנרגיה של מצב היא האנרגיה שעולה ליצור אותו, כשמתחילים ממטענים רחוקים זה מזה עד אינסוף (שם האנרגיה אפס).

• אנרגיה שלילית (מטענים מנוגדים): לא צריך להשקיע אנרגיה כדי ליצור את המצב. המטענים נמשכים זה לזה, ואם עוזבים אותם הם יתקרבו לבד. המצב נוצר באופן טבעי.
• אנרגיה חיובית (מטענים באותו סימן): כדי לקרב אותם צריך להשקיע אנרגיה, כי הם דוחים זה את זה. לבד הם לא יתקרבו.