חוק אמפר

בעזרת חוק אמפר נחשב את השדה המגנטי שיוצר זרם סימטרי. סימטריה זו הכרחית כדי לבודד את הנעלם (השדה המגנטי) מהמשוואה. ללא הסימטריה היינו מחשבים בעזרת חוק ביו-סבר.
חוק אמפר, אם כן, אומר כי אינטגרל על השדה לאורך לולאה סגורה תהיה שווה לזרם העובר בלולאה:

\oint{\vec B \cdot d \vec l }=I_{in}

כאמור, נבחר מסלול בקפידה כדי שנוכל לבודד את הנעלם שלנו (השדה המגנטי) מתוך המשוואה.

לולאת אמפר לזרם בתיל ישר אינסופי

כאמור, נבחר מסלול בקפידה כדי שנוכל לבודד את הנעלם שלנו (השדה המגנטי) מתוך המשוואה. במקרה של תיל אינסופי נבחר מסלול מעגלי שמרכזו עובר בתיל.

הצבה בנוסחת אמפר (לאחר החלפת קואורדינטות המסלול) תיתן:

\oint \vec B \cdot Rdθ \cdot \hat θ=I_{in}

ומטעמי סימטריה ברור כי השדה המגנטי קבוע לאורך כל הלולאה שבחרנו, לכן נוכל להוציא אותו בתוך האינטגרל.

\vec B\oint  Rdθ \cdot \hat θ=I_{in}

לאחר שהוצאנו את הנעלם מתוך האינטגרל נותר רק להעביר אגפים ולבודד את הנעלם כדי לקבל את נוסחת השדה המגנטי שיוצר זרם בתיל אינסופי.

\vec B _{\hat \theta} = \frac 1{2 π } \frac {I_{in}}{R}

כלומר, זרם בתיל ישר יצור שדה מגנטי בכיוון משיקי, כתלות ישרה בעוצמת הזרם והפוכה למרחק.

לולאת אמפר לזרם בסליל

לחישוב שדה מגנטי בתוך סליל עם זרם נבחר לולאת אמפר לפי השיקולים הבאים:
1 – בתוך הסליל ובמקביל אליו השדה המגנטי קבוע מטעני סימטריה
2 – הסליל לא מייצר שדה מגנטי במרחק גדול מאוד ממנו
3 – השדה המגנטי מחוץ לסליל וניצב אליו קבוע בכל המרחב (מטעמי סימטריה)

בלולאה זו נקבל כי בצלע הרחוקה האינטגרל מתאפס (השדה המגנטי מתאפס באינסוף). האינטגרל על שתי הצלעות הניצבות לסליל מתבטל מטעמי סימטריה. אינטגרל על הצלע שבתוך הסליל ייתן:

\int _0^D B\cdot dl_{\hat z}=B\int _0^D dl=B_{\hat z}\cdot D=I_{in}

הזרם החותך את הלולאה נספר כזרם כפול מספר ה״כניסות״ של הסליל לשטח הכלוא בלולאת אמפר

I_{in}=I\cdot nD

ובהצבה לנוסחה מעלה נקבל את השדה המגנטי בתוך סליל

\vec B_{(n)\hat z}= n\cdot I

קיבלנו כי השדה המגנטי בסליל תלוי אך ורק בזרם ובצפיפות הסליל, כלומר הוא קבוע בתוך הסליל (ומתאפס מחוצה לו).